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Après les activité de déformations de parallélogrammes, nous proposons des activités sur des pavages de parallélogrammes pour établir des propriétés des angles alternes internes, correspondants, ... et s’en convaincre.

Public : 13-14 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

 

1. Un pavage de parallélogrammes

 

Matériel 1

Des tiges métalliques fixées par des boulons afin de pouvoir déformer la construction

Matériel 2

Un cadre de quatre tiges métalliques fixées par des boulons auquel est accroché un fil élastique qui fait apparaître des parallélogrammes et des trapèzes (l’élasticité du fil rend possible la déformation de la construction).

 

Activité 1

Pour chaque matériel
a) Déterminez les différents quadrilatères que l’on peut obtenir avec cette construction.
b) Pointez un angle du pavage. Modifiez son amplitude de 30° et observez comment varient les autres angles. Argumentez.

Solutions

a) Les différents quadrilatères qu’on peut obtenir sont :

Avec le matériel 1 : des rectangles et des carrés, des parallélogrammes et des losanges. Les rectangles se transforment en parallélogrammes, les carrés en losanges et inversement.

Avec le matériel 2 : des rectangles et des trapèzes. Les rectangles se transforment en parallélogrammes et inversement, les trapèzes restent des trapèzes mais on passe de trapèzes rectangles à des trapèzes quelconques.

b) Avec le matériel 1, lorsqu’on modifie un angle de 30°, on voit que tous les angles de la construction varient de 30°. Avec le matériel 2, les angles des parallélogrammes varient de 30°. Pour les trapèzes, seuls deux angles varient de 30° (angles adjacents aux parallélogrammes).

Pour les deux matériels, si on observe quatre angles situés à un “nœud” du pavage, on voit que les angles opposés par leur sommet varient de manière identique.


Activité 2

Sur les pavages ci-dessous, où on distingue des parallélogrammes et des trapèzes, ne sont indiquées que les amplitudes de un ou deux angles. Quelles autres amplitudes peut-on trouver sans mesurer ? Argumentez.

Solutions et commentaires

Différents arguments peuvent être présentés pour justifier l’égalité d’amplitude de plusieurs angles. On peut se persuader que des angles sont de même amplitude par exemple en voyant qu’ils sont images l’un de l’autre par translation ou par symétrie centrale ou encore parce que que ce sont bien des angles correspondants dans des parallélogrammes isométriques. On peut évoquer la somme des amplitudes de plusieurs angles de sommet commun (angles dont la somme des amplitudes égale 180°, 360°), des angles dont les côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Le fait que les parallélogrammes ne soient pas semblables (troisième pavage) semble perturber certains. Il n’est pas non plus évident que des angles opposés par le sommet (deuxième pavage) sont de même amplitude. L’égalité d’amplitudes d’angles correspondants semble plus naturelle aux élèves.

Seule l’amplitude de l’angle γ dans le quatrième pavage ne peut être trouvée parce qu’elle ne dépend pas des amplitudes des angles connues. Prenons le trapèze ABCD (figure ci-dessous). Pour trouver l’amplitude d’un des angles en D, la connaissance des amplitudes des angles en B et C n’aide pas car le côté [BC] n’est pas parallèle au côté [AD]. On ne peut trouver l’amplitude de l’angle D1 que si on connaît les amplitudes des trois autres angles du trapèze ou bien l’amplitude de l’angle A1 (ou A2). En effet, les angles A2 et D1 sont supplémentaires : A1 et D1 sont alternes internes, donc D1 + A2 = 180°


 

2. Des angles de même amplitude

 

Activité

Sur les figures ci-dessous, deux droites sont parallèles. Coloriez en bleu tous les angles de même amplitude que α et en rouge ceux de même amplitude que β. Argumentez.

Solutions et commentaires

Dessin correct réalisé par un élève de 13 ans.

Dessin incorrect réalisé par des élèves de 13 ans.

Dans la deuxième figure, certains élèves considèrent l’angle α comme étant le supplémentaire de l’angle β.

 

3. Des angles liés

 

L’objectif est de se rendre compte expérimentalement que, dès que deux droites sont parallèles, les angles particuliers qui leur correspondent (alternes-internes, correspondants) sont de même amplitude, qu’il ne peut en être autrement.

Matériel
Piques à brochette

Activité

a) Placez une pique à brochette parallèlement à la droite d.

b) Placez une deuxième pique faisant avec d un angle de 40° et avec la première pique un angle de 60°.

c) On veut placer une autre pique faisant avec d un angle de 90° et avec la pique parallèle un angle de 10°. Réfléchissez à la façon dont vous allez la placer avant de le faire.

Remarque
La consigne c) est à réaliser en supplément de la consigne b) si vous n’avez pas abouti à une solution.

Solution

Il est impossible de réaliser les consignes.
Des droites parallèles coupées par une sécante déterminent des angles de même amplitude. Dans la suite des activités, on considère cette propriété comme établie. Il est donc opportun d’établir une synthèse reprenant les termes utiles (alternes internes, alternes externes et correspondants) pour l’énoncer précisément (voir contenu Les différents types d’angles ).
Les amplitudes possibles sont 40° et 140° ou 40° et 40° pour l’énoncé b) ; 90° et 90° ou 10° et 170° pour l’énoncé c).

 

4. Des consignes pour terminer un dessin

 

Activité

On dispose d’un robot capable d’avancer, de reculer, de tourner à droite ou à gauche d’un certain angle. Les ordres que l’on peut lui donner sont du type :
- avance de 10 cm,
- recule de 5 cm,
- tourne à droite de 60°,
- tourne à gauche de 100°.

Il est aussi muni d’un crayon, ce qui lui permet de laisser une trace sur le sol.

On veut lui faire tracer un parallélogramme. On lui a déjà donné les ordres suivants :
- avance de 10 cm,
- tourne à droite de 120°,
- avance de 7 cm.

Continuez à lui donner des ordres pour qu’il termine son dessin et pour qu’il revienne à sa position initiale et dans la direction initiale.

Solution

Les consignes à donner peuvent être :
- tourne à droite de 60°,
- avance de 10 cm,
- tourne à droite de 120°,
- avance de 7 cm,
- tourne à droite de 60°.

On considère ici les angles extérieurs de la figure, ce qui n’est pas évident à réaliser (voir l’erreur dans le dessin incorrect de l’élève). Les justifications sont diverses : angles supplémentaires intérieur-extérieur en chaque sommet, angles opposés dans un parallélogramme, somme des amplitudes des angles dans un parallélogramme. Une autre justification est de considérer qu’un tour complet a été réalisé lorsque l’on revient à la position initiale, la somme des amplitudes des angles doit donc être égale à 360°.

Dessin incorrect

Ce dessin est réalisé par un élève de 15 ans.

 

Voici une autre solution :

- tourne à gauche de 120°,
- recule de 10 cm,
- tourne à gauche de 60°,
- avance de 7 cm,
- tourne à droite de 60°.

 

5. A partir de droites non parallèles

 

Activité

Placez sur la droite e en pointillés une pique à brochette.
Attention, les droites e et d ne sont pas parallèles.
On peut alors en déduire que les amplitudes des angles α et β ne sont pas égales. Argumentez.

Solution

On tire de cette activité la propriété suivante : si deux droites e et d ne sont pas parallèles, alors les angles alternes internes qui y sont relatifs n’ont pas la même amplitude. Autrement dit, si des angles alternes internes relatifs à e et d ont la même amplitude, alors les droites e et d sont parallèles.

Exemple de justification d’un élève de 14 ans.

L’idée est de bouger la pique à brochette pour qu’elle soit parallèle à la droite d. Dans ce cas, les angles alterne internes ont même amplitude (propriété déjà connue). Dès qu’on change la pique de direction, l’amplitude de l’angle varie alors que β ne change pas. Les angles α et β ne peuvent donc pas avoir même amplitude.

 

Activités en amont
Déformation de quadrilatères

Activités en aval
Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle
Problèmes d’application sur les angles

Contenus visés
Les différents types d’angles
Somme des amplitudes des angles dans un triangle

Instruments de pensée
Mouvement
Voir l’invisible

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

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