Familles de triangles à 12 - 14 ans

1. a) La première maquette présente une famille de triangles de même périmètre. C’est la notion même de périmètre que l’on travaille donc ici.

b) Le fait que l’aire varie peut être comprise par l’examen de deux cas extrêmes, lorsque la perle (H) est presque alignée avec les deux attaches (I et J) vers la gauche ou la droite. L’aire est maximale lorsque la hauteur est la plus grande, la base étant fixée. Et on peut expérimenter que la hauteur est maximale lorsque le triangle est isocèle. La perle décrit la courbe représentée ci-dessous, appelée ellipse. On peut l’obtenir pratiquement en remplaçant la perle par une pointe de crayon.

2. Comme la pique à brochette est parallèle à la base du triangle, tous les triangles représentés ont la même aire.

On travaille à travers cette activité la proposition suivante : si deux triangles ont la même base et les sommets opposés à cette base sur une droite parallèle à celle-ci, alors ils ont la même aire.

Le mouvement physique de la perle, prolongé par un mouvement mental, permet de parcourir cette famille de triangles. On peut imaginer des triangles très « étirés » mais ayant tous la même aire que le triangle initial ABC, ce qui ne va pas de soi.

Question de relance Et si on incline un peu la pique, comment varie l’aire des triangles que l’on obtient ?

Par ailleurs, pour le périmètre, plus on éloigne la perle du point A plus le périmètre augmente. Il n’est pas évident de s’en convaincre lorsque la perle est très proche de A ; on pourrait croire que le périmètre reste constant. Par contre, on peut s’en persuader en éloignant de plus en plus la perle de A : on sent bien que l’élastique est de plus en plus tendu.

Pour que le périmètre reste constant, il faudrait que la perle décrive la courbe tracée ci-dessus à l’aide de la ficelle comme proposé avec le matériel 1.

3. La troisième maquette montre une famille de triangles dont l’aire et le périmètre augmentent à mesure que la perle M est tirée vers la droite.

Pour obtenir une aire double, il faut doubler (ou tripler) la base, puisque la hauteur est constante. On peut établir cela en utilisant la formule d’aire d’un triangle.

Ces questions mènent à la proposition suivante :
 si deux triangles ont la même hauteur, le rapport de leurs aires égale celui de leurs bases.